Continued fractions in algebraic geometry

Mini-curso: "Fracciones continuas en geometría algebraica"

Horario: Lunes 05 de diciembre (10-12h), martes 06 de diciembre (10-12h).

La meta es dar una introducción a fracciones continuas de Hirzebruch-Jung y sus muchas conecciones en geometría algebraica. Pondré un énfasis en sus aspectos combinatoriales, para así enunciar resultados y problemas abiertos. Su historia parte con Hirzebruch hace más de 50 años, quién redescubre (ya que Jung ya lo había hecho) como resolver singularidades cociente cíclico a través de fracciones continuas finitas negativas:

Dados 0<q< m enteros coprimos, su fracción continua es m/q=e_1-(1/e_2-(...-1/e_s)), donde e_i>=2.

Luego Wahl en los 70's estudiando singularidades que admiten suavizaciones con número de Milnor igual a cero descubre un tipo de singularidad especial dentro de todas las singularidades cociente cíclico. Resultó ser que Kollár-Shepherd-Barron en los 80's mostraron su importancia a través de la definición de la compactificación del espacio de moduli de superficies de tipo general, análoga a la compactificación de Deligne y Mumford para curvas. A su vez, y fuera de geometría algebraica, Fintushel-Stern en los 90's desarrollaron la técnica "rational blowdown" a través de la resolución de esas singularidades, lo cual introduce un nuevo punto de vista para construir 4-manifolds exóticos. El desarrollo continuó, incluyendo la teoría birracional explícita para degeneraciones de superficies desarrollada por Hacking-Tevelev-U (2017), y sus muchas aplicaciones. Muy recientemente Tevelev-U han encontrado conexiones con descomposiciones semi-ortogonales de categorías derivadas.

La lista de tópicos y aplicaciones es extensa, mi plan será enfocarnos en situaciones particulares que no requieran conocimiento previo de geometría algebraica moderna.

El plan es más o menos el siguiente.

Charla 1 (lunes, 100 minutos).

• Definición de fracciones continuas de Hirzebruch-Jung y sus varios puntos de vista. (Combinatoria)
• Su aparición en geometría algebraica a través de la resolución de singularidades cociente cíclico, y así el nombre Hirzebruch-Jung. (Geometría birracional de una superficie)
• Fracciones continuas de Wahl y T-singularidades, algoritmos y propiedades. (Q-Gorenstein smoothings)
• Toda singularidad cíclica depende de las singularidades de Wahl. (P-resoluciones de Kollár--Shepherd-Barron)

Charla 2 (martes, 100 minutos).

• Fracciones continuas del cero. (Combinatoria)
• Su relación con triangulaciones de polígonos. (Más combinatoria)
• Su relación con deformaciones de singularidades cíclicas. (Correspondencia de Kollár---Shepher-Barron)
• Deformaciones pequeñas y los correspondientes agujeros de gusano. (Trabajo conjunto con Vilches)
• Preguntas abiertas sobre Oróburos. (La manera con la cual uno piensa en agujeros de gusano, no hay paper asociado aún)

Puede ser un extra, o cambiando algo arriba: Conjetura de Markov, ver aquí y deformaciones del plano proyectivo.